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Definición:
La ecuación de segundo grado, también llamada cuadrática, en su forma más simple es: , donde a, b, y c son números reales.
Al número a se le llama coeficiente principal (y tiene que ser distinto de cero pues en caso contrario, no sería de segundo grado).
El número c es el término independiente.

Si tenemos la ecuación en su forma más simple, es decir: , entonces una de sus soluciones es:

y la otra:

La naturaleza de estas dos soluciones viene determinada por el radicando de la raíz, es decir: , llamado 'discriminante' y que, normalmente se representa por la letra griega delta mayúscula: .
De esta manera:
Si la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas.
Si la ecuación tiene una única solución real.
Si la ecuación no tiene solución real alguna (la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real).

Llamamos ecuación de segundo grado con una incógnita a la igualdad que se nos forma al sustituir la " y " de una función cuadrática por el valor 0.

Esto es una función cuadrática:

Esto sería una ecuación de segundo grado:

Llamamos raíces de una ecuación de segundo grado con una incógnita a los dos valores: X1 y X2 , si existen , de la incógnita "X " para los que la igualdad de la ecuación es cierta.
Podemos comprobar gráficamente la existencia de las dos raíces, si observamos que la parábola corta al eje de las abscisas.
Los puntos de corte corresponderán a los valores de X1 y X2.

1. Observa cómo si el coeficiente de '' es positivo, la parábola está abierta hacia arriba y si es negativo estará abierta hacia abajo.
2. Comprueba que si el coeficiente de " x " es cero el eje de la parábola coincide con el eje de ordenadas y que el vértice de la parábola es siempre el punto (0,c).
3. Comprueba que si el término independiente es cero, todas las parábolas cortan al eje de abscisas en dos puntos y uno de los puntos de corte es siempre el origen de coordenadas, o sea el punto (0,0).

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Resolver una ecuación de segundo grado es encontrar dos valores de "x ", x1 y x2 , que llamamos raíces de la ecuación , para los cuales la igualdad es cierta.

1.-RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA FORMA:

Las raíces x1 y x2 , o 'soluciones' de una ecuación de segundo grado de la forma: , se obtienen mediante las expresiones:

y

en donde:
'a' es el coeficiente de en la ecuación.
'b' es el coeficiente de en la ecuación.
'c' es el término independiente.

La solución gráfica de la ecuación son los valores x1 y x2 de "x" , valores que corresponden a los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas.

Propuesta de trabajo.
1. Comprueba que la ecuación no tiene solución gráfica cuando al representar la función correspondiente la parábola no corta el eje de abscisas en ningún punto.

2. Observa que la ecuación de segundo grado no tiene solución en el conjunto Q (Conjunto de números racionales) cuando en la expresión:
y
el radicando (b2-4ac) es menor que 0, es decir, es un número negativo.

2.- RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL TIPO:

Todas las ecuaciones del tipo tiene como solución las raíces:




1. Observa cómo si el coeficiente de " " es positivo , la parábola está abierta hacia arriba y si es negativo estará abierta hacia abajo.

2. Comprueba que todas las parábolas de este tipo de funciones cortan al eje de abscisas en dos puntos (excepto si b=0 ).
Observa también que uno de los puntos de corte siempre es el origen de coordenadas.

3.- RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL TIPO:

Las ecuacions de éste tipo pueden:

1) Tener solución en Q (conjunto de números racionales), en cuyo caso las raíces son simétricas:

y

2) No tener solución en Q por ser el radicando negativo.

4.- RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL TIPO:


Las ecuaciones de éste tipo tienen solución doble, que es siempre: