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Definición de Derivadas
Publicado por Profesor - 12/12/09 a las 08:12:11 pm
El estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.
En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo.
El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.
La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.
La derivada de una función en un punto “a” surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa “a”, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones.
En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales
En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales
La derivada de una función en un punto mide, por tanto, la pendiente de la tangente a función en dicho punto.
Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia.
Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen derivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos.
Derivada de una función en un punto.
Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada en el punto “a” como:
Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia.
Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen derivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos.
Derivada de una función en un punto.
Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada en el punto “a” como:
DERIVADAS SUCESIVAS
Muy frecuentemente hemos necesitado conocer cómo varía la posición de un cuerpo a través del tiempo, dicho de otra manera, a qué ritmo (velocidad) se desplaza.
Para ello recurrimos a la expresión:
En esta expresión matemática ‘s’ es la posición y ‘t’ es el intervalo de tiempo transcurrido entre las mediciones.
Dicho de otra forma, lo que estamos haciendo es ver en forma infinitesimal la variación de la posición de un cuerpo respecto a un punto fijo de nuestro sistema de referencia.
Si reflexionamos, hemos hecho una derivada parcial respecto al tiempo, pero en realidad qué es lo que estamos observando?.
Simplemente la velocidad del cuerpo en movimiento.
Entonces podemos escribir:
La pregunta que podemos hacernos ahora sería:
¿Qué ocurre se vuelvo a derivar, ahora la velocidad respecto al tiempo?
A esta nueva expresión matemática se la denomina comúnmente como aceleración.
No es otra cosa que la forma en que varía la velocidad.
Supongamos que nuestro cuerpo se desplaza siguiendo una trayectoria que responde a la siguiente función:
y=arctg(x)
Su primer derivada será:
Y su segunda derivada será:
En la gráfica el movimiento del cuerpo está dado por la línea roja y su velocidad está dada por la línea azul.
Nosotros como observadores estamos en el punto (0, 0) es decir en el centro del sistema de ejes cartesianos.
Vemos que la velocidad se hace máxima cuando pasa junto a nosotros para ir reduciendo su velocidad a medida que se va alejando; al tiempo que su aceleración se hace 0 (cero) cuando está junto a nosotros.
Hasta aquí el análisis de hasta la segunda derivada.
Veremos qué pasa con una tercera derivada... ¿qué ocurrirá?
Si derivamos una tercera vez obtendremos lo que se llama en inglés "jerk" que traducido sería como 'tirón' o 'sacudida', es la variación de la aceleración.
En su forma matemática queda definido como:
La derivada tercera (el jerk) la veremos en la gráfica con trazo color negro.
Podemos observar cómo la aceleración aumenta según se va acercando a nosotros hasta un punto, justo hasta el momento en que en la gráfica la aceleración y la velocidad de cortan.
Se puede concluir que haciendo sucesivas derivadas, de orden 4to, 5to, 6to, etc lograremos obtener una definición con mayor exactitud del modelo matemático del sistema que estemos estudiando. Similar ejemplo ocurre con los desarrollos de Fourier en los cuales cuanto más cantidad de términos le incorporemos mayor va a ser la exactitud del comportamiento del sistema estudiado.
(extraído del trabajo APLICACIÓN DE LAS TERCERAS DERIVADAS A PROCESADOS ASTROFOTOGRÁFICOS, Carlos Eugenio Tapia Ayuga - Mecánica y Ondas I, Profesor E. Maciá Barber)