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Que es posible encontrar una raíz de un polinomio entre los divisores de su término independiente, o entre las fracciones que se puedan formar entre los divisores de su término independiente y de su coeficiente principal.
En este Caso de Factoreo necesitamos esas "raíces" del polinomio, y ahí cobra importancia esto que dice Gauss.
Usamos lo que dice "Gauss" para buscar esas raíces que nos ayudarán a factorizar el polinomio.
No nos hace falta saber o entender lo que son las raíces de un polinomio para poder factorizarlo, podemos pensar que son ciertos números que vamos a usar para dividir al polinomio por otro de la forma (x - raíz).
Por ejemplo, si una posible raíz del polinomio es 2, vamos a dividir al polinomio por (x - 2).
¿Qué es eso de los divisores y las fracciones que se forman? ¿Cómo se buscan las raíces del polinomio según Gauss?
Para encontrar raíces, hay que buscar primero los divisores del término independiente del polinomio y del coeficiente principal.
¿Qué es eso de los divisores y las fracciones que se forman? ¿Cómo se buscan las raíces del polinomio según Gauss?
Para encontrar raíces, hay que buscar primero los divisores del término independiente del polinomio y del coeficiente principal.
Por ejemplo, en el polinomio: 2x3 -3x2 - 11x + 6, el término independiente es 6, y el coeficiente principal es 2.
Tengo que buscar los divisores de 6 y los divisores de 2.
Divisores de 6: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. (En general los denomino con la letra "k")
Divisores de 2: 1, -1, 2, -2. (En general los denomino con la letra "a")
Entonces, se pueden buscar "raíces del polinomio", en todas las fracciones que se puedan armar entre "k" y "a", con la "k" arriba (numerador) y la "a" abajo (denominador).
Divisores de 6: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. (En general los denomino con la letra "k")
Divisores de 2: 1, -1, 2, -2. (En general los denomino con la letra "a")
Entonces, se pueden buscar "raíces del polinomio", en todas las fracciones que se puedan armar entre "k" y "a", con la "k" arriba (numerador) y la "a" abajo (denominador).
Es decir: un divisor de 6 arriba, y un divisor de 2 abajo. O un divisor del término independiente arriba, y un divisor del coeficiente principal abajo. Así:
Posibles raíces:
Esto puede dar un montón de combinaciones, que las voy a mostrar a todas en este ejemplo.
Pero muchos resultados se repiten, así que no son tantos.
Además, no hace falta que primero formemos todas las fracciones posibles... Podemos probar de a una, la que se nos ocurra.
Y más fácil todavía: Podemos empezar probando solamente a los divisores del término independiente.
Y más fácil todavía: Podemos empezar probando solamente a los divisores del término independiente.
Lo más probable es que encontremos una o más raíces en esos divisores, y con eso nos alcance para factorizar todo el polinomio, y ya no tengamos que andar pensando en ninguna fracción.
Eso es lo que pasa en casi todos los ejercicios.
La teoría es más complicada de lo que en la práctica se hace: en el 99% de los ejercicios no necesitaremos acordarnos del coeficiente principal, ni fracciones ni nada.
Simplemente trabajamos con los divisores del término independiente. Y también es muy probable encontrar raíces entre los números más pequeños: 1, -1, 2, -2.
Entonces, conviene empezar por ellos y pronto encontraremos la o las raíces necesarias en pocos pasos.
Pero, ¿por qué puedo usar los divisores del término independiente?
Pero, ¿por qué puedo usar los divisores del término independiente?
Si la teoría dice otra cosa... ¿Por qué puedo obviar al coeficiente principal?:
Porque el 1 es siempre uno de los divisores del coeficiente principal, ya que el 1 es divisor de cualquier número.
Porque el 1 es siempre uno de los divisores del coeficiente principal, ya que el 1 es divisor de cualquier número.
Y una fracción que tenga un 1 abajo, es igual al número "que está arriba".
A ver, para que se entienda en nuestro ejemplo:
"k" puede ser: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
"a" puede ser: 1, -1, 2, -2
Ahora voy a armar las fracciones con "a" = 1.
"k" puede ser: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
"a" puede ser: 1, -1, 2, -2
Ahora voy a armar las fracciones con "a" = 1.
Pero si a =1, es igual a "k": Sin la "a", sin fracción, sin tener en cuenta al coeficiente principal a.
1/1 = 1
-1/1 = -1
2/1 = 2
-2/1 = -2
3/1 = 3
-3/1 = -3
Y así... Todas las "k" pueden ser tomadas como raíces, porque se las puede obtener de la fórmula considerando que "a" es igual a 1.
1/1 = 1
-1/1 = -1
2/1 = 2
-2/1 = -2
3/1 = 3
-3/1 = -3
Y así... Todas las "k" pueden ser tomadas como raíces, porque se las puede obtener de la fórmula considerando que "a" es igual a 1.
Así, todos los divisores del término independiente pueden ser raíces del polinomio, y no hace falta pensar en los divisores del coeficiente principal a menos que no se encuentre raíces entre los primeros.
¿Cómo puedo saber si un número es raíz de un polinomio? ¿Es la división por (x - raíz) la única forma?
No. Como en el Nivel Medio no suelen hablar mucho de las raíces de los polinomios, les hacen directamente hacer la división y les dicen que tiene que dar cero el Resto.
No. Como en el Nivel Medio no suelen hablar mucho de las raíces de los polinomios, les hacen directamente hacer la división y les dicen que tiene que dar cero el Resto.
En realidad, para saber si un número es raíz de un polinomio (con un sólo tipo de letra, "x" por ejemplo), hay que reemplazar todas las letras por ese número, y la cuenta total debe dar cero.
Por ejemplo, el -2 es raíz del polinomio:
2x3 -3x2 - 11x + 6 =
Porque:
2.(-2)3 - 3.(-2)2 - 11.(-2) + 6 = 2.(-8) - 3.4 + 22 + 6 = -16 - 12 + 22 + 6 = 0
Y eso es porque, un número es raíz de un polinomio cuando al reemplazarlo por su variable el resultado dá cero.
2x3 -3x2 - 11x + 6 =
Porque:
2.(-2)3 - 3.(-2)2 - 11.(-2) + 6 = 2.(-8) - 3.4 + 22 + 6 = -16 - 12 + 22 + 6 = 0
Y eso es porque, un número es raíz de un polinomio cuando al reemplazarlo por su variable el resultado dá cero.
Se le llama raíces a esos números que hacen que un polinomio "dé 0".
A este tipo de pruebas se le llama "Hallar el Valor Numérico del polinomio", o también se le dice "especificar el polinomio en tal número".
En general a los polinomios se los llama con una letra y una variable entre paréntesis, así:
P(x) = 2x3 -3x2 - 11x + 6
Y esa notación es muy adecuada para lo que estamos haciendo, porque si ponemos un número en el lugar de esa x que está entre paréntesis, estamos "especificando" al polinomio en ese número, o hallando su Valor Numérico para ese número:
P(-2) = 2.(-2)3 - 3.(-2)2 - 11.(-2) + 6
Con esta notación, podemos decir que un número x es raíz de un polinomio si P(x) = 0.
Entonces, cuando estamos usando este Caso de Factoreo con Gauss, tenemos otro método para saber si un número es o no raíz.
P(x) = 2x3 -3x2 - 11x + 6
Y esa notación es muy adecuada para lo que estamos haciendo, porque si ponemos un número en el lugar de esa x que está entre paréntesis, estamos "especificando" al polinomio en ese número, o hallando su Valor Numérico para ese número:
P(-2) = 2.(-2)3 - 3.(-2)2 - 11.(-2) + 6
Con esta notación, podemos decir que un número x es raíz de un polinomio si P(x) = 0.
Entonces, cuando estamos usando este Caso de Factoreo con Gauss, tenemos otro método para saber si un número es o no raíz.
No hace falta hacer la división por Ruffini para cada número que pueda ser raíz.
En vez de la división, se puede hacer P(posible raíz) y tiene que dar cero.
A veces es una cuenta mucho más sencilla que hacer toda una división por Ruffini. Otras veces no.
Recordemos que hay dos formas de saber si un número es raíz o no del polinomio:
1) Dividir por (x - supuesta raíz), y el Resto debe dar cero para que la supuesta raíz lo sea en realidad.
2) Reemplazar la letra del polinomio por la supuesta raíz, y el Valor Numérico tiene que dar 0.
¿Qué son las raíces de un polinomio? ¿A ver algunos ejemplos?
Como ya dije antes, un número es raíz de un polinomio cuando al reemplazarlo por su variable el resultado dá cero.
Se le llama raíces a esos números que "hacen que un polinomio dé 0".
Es decir, aquellos números que, reemplazados en la letra del polinomio (x es la que estamos usando), hacen que el Valor numérico del polinomio sea cero.
Por ejemplo en:
x2 + 3x + 2 =
Si reemplazo la x con (-2), tenemos que:
(-2)2 + 3.(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 El Valor que toma el polinomio es igual a "cero".
Podemos decir entonces que (-2) es raíz de ese polinomio.
x2 + 3x + 2 =
Si reemplazo la x con (-2), tenemos que:
(-2)2 + 3.(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 El Valor que toma el polinomio es igual a "cero".
Podemos decir entonces que (-2) es raíz de ese polinomio.
En cambio, si reemplazo la x por el número 3, tenemos que:
32 + 3.3 + 2 = 9 + 9 +2 = 20 El Valor Númerico del polinomio es diferente de "cero".
Entonces, el número 3 no es raíz de ese polinomio.
A este tipo de pruebas se le llama "hallar el Valor Numérico del polinomio", o también se le dice "especificar el polinomio en tal número".
32 + 3.3 + 2 = 9 + 9 +2 = 20 El Valor Númerico del polinomio es diferente de "cero".
Entonces, el número 3 no es raíz de ese polinomio.
A este tipo de pruebas se le llama "hallar el Valor Numérico del polinomio", o también se le dice "especificar el polinomio en tal número".
Y en general a los polinomios se los llama con una letra y una variable entre paréntesis, así:
P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6
Esa notación es muy adecuada para lo que estamos haciendo, porque si ponemos un número en esa x que está en el paréntesis, estamos "especificando" al polinomio en ese número, o hallando su Valor Numérico para ese número:
P(-3) = (-3)3 + 2.(-3)2 - 5.(-3) - 6 = -27 + 18 + 15 - 6 = 0
Con esta notación, podemos decir que un número x es raíz de un polinomio si P(x) = 0.
P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6
Esa notación es muy adecuada para lo que estamos haciendo, porque si ponemos un número en esa x que está en el paréntesis, estamos "especificando" al polinomio en ese número, o hallando su Valor Numérico para ese número:
P(-3) = (-3)3 + 2.(-3)2 - 5.(-3) - 6 = -27 + 18 + 15 - 6 = 0
Con esta notación, podemos decir que un número x es raíz de un polinomio si P(x) = 0.