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Definicion de derivadas

Publicado por Profesor - 12/12/09 a las 08:12:11 pm
El estudio de uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función.
En esta página, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo.
El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.
Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender a manejar el cálculo integral, que se explicará más adelante en esta misma página.
La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.
La derivada de una función en un punto “a” surge del problema de calcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa “a”, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones.
En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentes fueran horizontales
La derivada de una función en un punto mide, por tanto, la pendiente de la tangente a función en dicho punto.
Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia.
Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienen derivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos.

Derivada de una función en un punto.
Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada en el punto “a” como:


Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por tenemos que la definición queda:


En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definición nos queda de la siguiente forma:


Función derivada.
Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I denominamos función derivada a:


Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por tenemos que la definición queda:




Derivadas de Funciones Trigonométricas