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Un número primo se puede dividir exactamente sólo entre 1 y él mismo.
Un número compuesto se puede dividir exactamente entre otros números además de 1 y él mismo.

El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto.

Existen infinitos números primos !!!.


Los números primos hasta el 1000:


Cómo averiguar si un número es primo.
El algoritmo más sencillo que puede utilizarse para saber si un número n es primo es el de la división.
Se trata de ir probando para ver si tiene algún divisor propio.

Para ello vamos dividiendo el número n entre 2, 3, 4, 5, ... , n-1.
Si alguna de las divisiones es exacta (da resto cero) podemos asegurar que el número n es compuesto.
Si ninguna de estas divisiones es exacta, el número n es primo.

Este método puede hacerse más eficiente observando simplemente, que si un número es compuesto alguno de sus factores (sin contar el 1) debe ser menor o igual que √ n.
Por lo tanto, el número de divisiones a realizar es mucho menor.
Sólo hay que dividir entre 2, 3, 4, 5, ... , [√ n].
En realidad, bastaría hacer las divisiones entre los números primos menores o iguales que √ n.

Ejemplo: Para probar que 227 es primo sabiendo que √227 = 15'0665... basta con ver que no es divisible entre 2, 3, 5, 7, 11 y 13.
Este procedimiento resulta eficiente para números pequeños o que tienen factores pequeños. Sin embargo si el número tiene por ejemplo unas 20 cifras y es primo, habrá que realizar miles de millones de divisiones para comprobarlo.  
Aunque una computadora pueda realizar millones de divisiones en un segundo, el tiempo necesario es bastante considerable. Y cuando el número de dígitos aumenta el tiempo necesario ¡¡ crece de forma exponencial !!

¿Es verdad que se ofrece dinero por encontrar números primos con cierta cantidad de cifras?
Efectivamente es así: resulta que los números primos con más de 12 millones de dígitos son súmamente difíciles de encontrar, ya que para probar su autenticidad se necesita de muchísimo tiempo, incluso para las poderosas computadoras.

Entonces estos números primos de muchas cifras se usan en protocolos y sistemas de seguridad informáticos, y como semillas para cifrar mensajes militares y gubernamentales.
Sí es una realidad que organizaciones como la EFF (Electronic Frontier Fundation) ofrece US$150.000 para 100 millones de dígitos, y US$250.000 para 1 billón de dígitos; en el año 2009, ya se pagaron US$100.000 para un número primo de 12 millones de dígitos.

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